破裂复杂度：神经偏微分方程求解器的新视角
机器学习
2026-05-18 v1 人工智能
数值分析
数值分析
计算物理
摘要
神经偏微分方程（PDE）的替代求解器承诺相对于数值方法实现显著加速，尤其是在需要大量求解的场景中。然而，当前基于准确度的评估未充分考虑两个核心问题：(1) 神经求解器在数据生成、训练和调优方面存在显著的前期开销；(2) 经典求解器也可在足够低的仿真成本下生成低保真解。为显式考虑这些现实情况并充分纳入端到端成本，我们提出以破裂复杂度为中心的评估框架，这一度量衡衡在传统求解器成本效益相当的前提下，神经求解器被用作成本有效之前需要完成的前向求解次数。为评估此度量，我们将比例规律应用于确定如何分配训练预算用于数据生成，并讨论如何在多样化情境中实现平滑的误差匹配。我们对多个神经 PDE 求解器在 APEBench 上的三个 2D 周期域上的问题以及由 GPU 原生 PyFR 代码生成的多个障碍流动新基准进行了破裂复杂度评估。除其他发现外，我们的结果表明，随着问题在成本、维度、滚动、物理情境（例如更高雷诺数）等方面变得更难，神经 PDE 求解器变得更有效。
关键词
引用
@article{arxiv.2605.15399,
title = {Breakeven complexity: A new perspective on neural partial differential equation solvers},
author = {Yijing Zhang and Nicholas Roberts and Tanya Marwah and Mikhail Khodak},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.15399},
year = {2026}
}