为神经算子生成合成数据

最近文献中的进展显示了深度学习方法，特别是神经算子，在获得偏微分方程数值解方面的潜力，这些解超出了当前数值求解器的能力。然而，现有的数据驱动方法通常依赖于由数值PDE求解器（例如有限差分或有限元方法）产生的训练数据。我们引入了一种“反向”数据生成方法，避免数值求解PDE：通过从适当的解空间（例如$H_0^1(\Omega)$）中随机采样候选解$u_j$，我们通过微分直接从方程计算相应的右端项$f_j$。这通过计算导数而不是为每个数据点数值求解PDE来产生训练对$\{(f_j, u_j)\}$，从而能够快速、大规模地生成由精确解组成的数据。实验表明，在标准求解器产生的数据上测试时，在此合成数据上训练的模型具有良好的泛化能力。虽然这个想法很简单，但我们希望这种方法将扩展不依赖经典数值求解器生成数据的神经PDE求解器的潜力。