面向流体力学机器学习建模的偏微分方程数据正向生成方法

流体力学的人工智能（AI）已成为一个极具吸引力的课题。高保真数据是 AI 在流体力学中成功应用的最关键问题之一，然而其获取成本高昂甚至难以企及。本研究提出了一种基于偏微分方程的高效数据正向生成方法。具体而言，首先按照随机场（例如高斯随机场，GRF，计算复杂度 $O(N \log N)$，$N$ 为空间点数）或物理定律（例如某类谱，计算复杂度 $O(NM)$，$M$ 为模态数）生成 PDE 的解，随后计算满足 PDE 的源项、边界条件和初始条件。由此，可以构建源项、边界条件和初始条件与相应 PDE 解的数据对。本文分别提出了嵌入投影法的 Poisson 神经网络以及嵌入多重网格数值模拟的小波变换卷积神经网络，用于求解不可压缩 Navier-Stokes 方程。本文验证了所生成数据用于训练 Poisson-NN 和 WTCNN 的可行性。结果表明，即使没有任何 DNS 数据，生成的数据也能训练这两个模型，并具备出色的泛化能力和准确性。遵循物理定律生成的数据相较于遵循 GRF 生成的数据，能显著提升收敛速度、泛化能力和准确性。