高斯型固定点与积分判别函数的变分性质

我们考虑 partition functions $Z(g) = \exp(-g(x))dx$，其中 $g$ 为非负多项式作用力（次数为 $2n$ 的齐次形式），且仅在原点处为零。此类积分称为积分判别函数，出现在统计力学、量子场论以及指数族理论中。我们证明，其关联的玻尔兹曼测度 $d\mu = \exp(-g(x))dx$ 满足一种将其次数为 $2n$ 的矩与 $g$ 的系数简单关联的固定点性质。这一结果推广了指数分布（次数为1）在正象限上的熟悉恒等式以及高斯测度（次数为2）的恒等式。进一步我们证明，$g$ 可由三个变分原理刻画，其中包括在尺度化矩约束下的最大熵原理，拓展了高斯极值原理至任意偶次齐次作用力。利用这些恒等式在截断矩数值方案（即 Moment-SOS 层次）中，可强化标准半正定松弛，实现更快收敛，从而更高效地逼近 partition function $Z(g)$ 以及 $\mu$ 的矩。