度规化置换不变张量量子力学、最小公倍数与包含排除原理

我们推导了度规化置换不变张量量子谐振子热力学的规范玻尔兹曼族配函数，发现其具有惊人的简单形式且具数论特征。这些系统具有 $S_N$（所有置换一组对象的排列）的度规化对称性。对张量变量 $\Phi_{ i_1, \cdots , i_s }$ 作作用，其中 $s$ 个指数均取自 $\{ 1, 2, \cdots , N \}$，并具有标准的 $S_N$ 置换作用。结果是对 $N$ 的划分求和，求和项是一个乘积，其形式依赖于划分子集的最小公倍数（LCM）。组合学的包含排除原理在这些表达式的推导中发挥核心作用。这些配函数在玻尔兹曼因子 $x = e^{ - \beta }$ 反演下的行为由与对称群和交错群不变式相关的普遍序列所支配。配函数允许开发类似于 $s=2$ 矩阵情形的高温展开。计算 $s$ 依赖的分解临界点，得到较大的 $N$ 近似下的临界玻尔兹曼因子 $x_c = { \log N \over sN^{ s-1}}$。