代数与拓扑中的高斯和

我们考虑与满足某种二次性质的函数 $T\to \mathbb R/\mathbb Z$ 相关联的高斯和，并研究其基本性质。这些性质以及十九世纪由 Dirichlet 给出的一个高斯和公式，给出了计算 $\mathbb Q$ 上非奇异双线性形式签名模 $8$ 的 Milgram 高斯和公式。Brown 推导了关于非奇异整形式签名模 8 的一些结果。Kirby 与 Melvin 给出了该不变量向可能非奇异形式的推广公式，我们在此进一步推广之。Milgram 高斯和公式及这些公式使我们无需借助 Witt 群计算即可重证 Brown 的结果。在假定少许代数拓扑知识下，我们重证了 Morita 关于从 Pontrjagin 平方计算有向 Poincaré 对偶空间签名模 $8$ 的定理，而未使用 Bockstein 谱序列。由于我们处理的可能为奇异形式，我们也得到了带边界 Poincaré 空间的 Morita 定理版本。最后我们将结果应用于可定向 3-流形 $M$ 的 $H^1(M;\mathbb Z/2\mathbb Z)$ 上的双线性形式 $Sq^1x\cup y$。