双雅努斯线性西格玛模型与高斯和的一般互反律

我们研究了一个二维线性 $\sigma$ 模型的超对称配分函数，其靶空间为一个环面，其复结构沿一个世界面方向变化，而凯勒模沿另一方向变化。该设置受 4d $\mathcal{N}=4$ $U(1)$ 超杨-米尔斯理论在映射环面（$T^2$ 以 $S^1$ 为底的纤维丛）乘一个圆上的雅努斯构型紧致化所启发，并在 $S^1$ 上插入了 $SL(2,\mathbb{Z})$ 对偶壁，但我们的设置具有最小超对称。该配分函数依赖于 $SL(2,\mathbb{Z})$ 的两个独立元素，一个描述对偶扭曲，另一个描述映射环面的几何。它是拓扑的，并可写为多元二次高斯和。通过以两种不同方式计算配分函数，我们得到了关联不同二次高斯和的恒等式，推广了 {\it Landsberg-Schaar} 关系。这些恒等式是 F. Deloup 所发现的一组恒等式的子集。每个恒等式含有一个单位八次根相位，我们展示了它如何作为超对称类雅努斯构型中的贝里相位出现。超对称要求复结构沿上半平面的半圆变化，正如 Gaiotto 与 Witten 在相关语境中所表明的，且该半圆在重现正确贝里相位中起着重要作用。