基于李-杨多项式的傅里叶准晶间隙分布

Kurasov 与 Sarnak 近期的成果提供了一种由一类称为李-杨多项式的特殊多元多项式的环面零点集构造一维傅里叶准晶(FQ)的方法。特别地,他们给出了一个具有单位系数和一致离散支撑的非周期 FQ,回答了 Meyer 提出的一个公开问题。后来人们证明该方法可生成所有具有 $\mathbb{N}$ 值系数($\mathbb{N}$-FQ)的一维傅里叶准晶。本文刻画了哪些李-杨多项式会产生具有单位系数和一致离散支撑的非周期 $\mathbb{N}$-FQ,并表明该性质在李-杨多项式中是通有的。我们还证明了任意 $\mathbb{N}$-FQ 中相邻原子间间隙所构成的无穷序列具有良定义的分布,且在温和条件下为绝对连续的。这将量子图谱先前已知的结果推广到了任意 $\mathbb{N}$-FQ。文中给出了两个极端例子:其一,一列间隙分布收敛于泊松分布的 $\mathbb{N}$-FQ;其二,一列随机李-杨多项式产生随机 $\mathbb{N}$-FQ,其经验间隙分布收敛于随机酉矩阵(CUE)的分布。