Fuchsian 曲面群及其 solenoid 上的 Galois 作用

设 $C$ 为被 Fuchsian 群 $\Gamma$ 均匀化的复代数曲线。本文第一部分将对应于 $\Gamma$ 的 solenoid 的自同构群识别为其中 commensurator $\mathrm{Comm}(\Gamma)$ 的 Belyaev 完备化，并利用该识别证明此完备化的同构类是关于 $\mathrm{Gal}(\mathbb C/\mathbb Q)$ 在代数曲线上自然 Galois 作用的不变量。反过来，该事实给出了 $\Gamma$ 的算术性之 Galois 不变性的一个证明，且独立于 Kazhhdan 的证明。第二部分我们聚焦于 $\Gamma$ 为算术群的情形。我们发现的进一步 Galois 不变量包括：i) $\mathrm{Comm}(\Gamma)$ 的周期，ii) 方程 $X^2+\sin^2 \frac{2\pi}{2k+1}$ 在 $\Gamma$ 的不变四元数代数中的可解性，以及 iii) $\Gamma$ 为同余子群的性质。