等面积参数化中拉伸能量最小化基础理论及其 R-线性收敛性

本文中，我们首先通过球极投影将有限畸变问题从 $\mathbb{R}^2$ 中的有界域推广到 $\mathbb{R}^3$ 中亏格为零的闭曲面。随后，我们为单连通闭曲面 $\mathcal{M}$ 与单位球面 $\mathbb{S}^2$ 之间经由在 $\overline{\mathbb{C}}$ 上最小化总面积畸变能量的球面等面积参数化建立理论基础。只要确定了总面积畸变能量的最小化子，该最小化子与初始共形映射的复合就确定了扩展平面间的等面积映射。取逆球极投影，我们可导出 $\mathcal{M}$ 与 $\mathbb{S}^2$ 之间的等面积映射。总面积畸变能量可分别重写为与南半球和北半球相关的 Dirichlet 能量之和，并可通过交替求解相应的拉普拉斯方程而递减。基于此基础理论，我们发展了用于计算 $\mathcal{M}$ 与 $\mathbb{S}^2$ 之间球面等面积参数化的改进拉伸能量最小化方法。此外，在若干温和条件下，我们验证了所提算法具有渐近 R-线性收敛性或形成拟周期解。在各种基准上的数值实验验证了收敛假设始终成立，并表明了所开发改进拉伸能量最小化的高效性、可靠性与鲁棒性。