线性自伴椭圆PDE在非线性近似空间中能量最小化的收敛框架
数值分析
2025-08-27 v2 数值分析
摘要
近年来，出现了用于求解偏微分方程（PDE）的非线性方法，例如基于物理的神经网络（PINN）。尽管这些方法在实际中常表现良好，但其理论分析仍有限，尤其是关于收敛保证方面。本文发展了一个针对线性自伴椭圆PDE能量最小化问题的通用优化框架，在非线性但解析可处理的近似空间中进行 formulation。该框架自然地在线性与非线性参数之间进行划分，并支持混合优化策略：线性变量通过线性求解或梯度下降进行更新，而非线性变量则使用受约束的投影梯度进行处理。我们在假设离散能量泛函满足不同iable性、有界性、规律性和方向凸性等模块化结构假设下，建立了该算法的局部和全局收敛性。这些假设以抽象形式表述，使该框架能够适用于广泛的非线性近似流形。在一篇伴随论文 [Magueresse, Badia (2025, arXiv:2508.17705)] 中，我们引入了一个基于重叠自由节点张量积 B样条实现的具体实例，满足所需假设并实现具有严格收敛保证的几何自适应求解器。
引用
@article{arxiv.2508.17687,
title = {A convergence framework for energy minimisation of linear self-adjoint elliptic PDEs in nonlinear approximation spaces},
author = {Alexandre Magueresse and Santiago Badia},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.17687},
year = {2025}
}
备注
Updated bibliography