与模形式关联的傅里叶级数的Mellin变换的函数方程

设$X_1(s)$和$X_2(s)$分别为$\chi_{1}(x)$和$\chi_{2}(x)$的Mellin变换。拉曼努努考察满足函数方程$X_{1}(s)X_2(1-s) = \lambda^2$的函数$\chi_1(x)$和$\chi_2(x)$，其中$\lambda$是与$s$无关的常数。拉曼努努得出，满足这一函数方程的合适候选者包括初等函数，如正弦、余弦和指数函数，以及其合理的组合。在此基础上，我们探讨满足更一般函数方程$\frac{X_1(s)}{X_2(k-s)} = \sigma^2$的函数$\chi_1(x)$和$\chi_2(x)$，其中$k$是整数，$\sigma$是与$s$无关的常数。结果表明，与某些Dirichlet L函数和模形式相关的傅里叶级数的Mellin变换满足相同的函数方程。