非均匀评估成本下的函数恢复与最优抽样

我们考虑从 i.i.d. 点样本通过 (加权) 最小二乘估计器恢复函数 $f : D \rightarrow \mathbb{C}$，其中 $f$ 属于维数为 $n$ 的线性子空间 $\mathcal{P}$。与大多数研究不同，我们假设评估 $f$ 的成本可能是非均匀的，由成本函数 $c : D \rightarrow (0,\infty)$ 控制，该函数可能在某些点处发散。因此，我们致力于选择抽样 measure 以最小化预期总成本。我们提供的恢复保证表明，在预期成本取决于空间 $\mathcal{P}$ 的 Christoffel 函数和 Remez 常数的情况下，可实现准确且稳定的恢复。这导致一种通用的采样 measure 选择配方，用于一般情况下的 $c$。作为示例，我们考虑一维多项式空间。在此情况下，我们提供两种用于选择抽样 measure 的策略，我们证明在代数增长成本函数的情况下，这两种策略在常数和对数因子上均为最优。