弱无序势能量ground-state分布

我们研究单个量子粒子在势能 $V(\boldsymbol{x}) = V_0(\boldsymbol{x}) + \sqrt{\epsilon} \, v_1(\boldsymbol{x})$ 的ground-state能量的完整分布 $P(E)$，其中 $V_0(\boldsymbol{x})$ 为确定性“背景”阱势，$v_1(\boldsymbol{x})$ 为无序。我们考虑任意阱势 $V_0(\boldsymbol{x})$ 和白噪声无序 $v_1(\boldsymbol{x})$，以及任意空间维数 $d$。在弱无序极限 $\epsilon \to 0$ 中，我们发现 $P(E)$ 按比例缩放为 $P(E) \sim e^{-s(E)/\epsilon}$。大偏差函数 $s(E)$ 通过计算给定ground-state能量 $E$ 的条件下最可能的 $V(\boldsymbol{x})$ 配置来获得。对于无限系统，我们在 $E \to \pm \infty$ 和 $E \simeq E_0$（即无无序时的ground-state能量）处解析获得 $s(E)$。我们对势能 $V_0(\boldsymbol{x}) \propto x^2$ 的谐振阱，在维数 $d\in\{1,2,3\}$ 中进行显式计算。随后，我们对具有均匀背景 $V_0(x)=0$ 的有限周期一维系统精确计算 $s(E)$。我们发现，系统在 $E$ 跨越临界值 $E_c < 0$ 时表现出显著的行为变化：当 $E > E_c$ 时，最可能的 $V(x)$ 配置为均匀的，而当 $E < E_c$ 时为非均匀的，从而自发破坏问题的平移对称性。因此，$s(E)$ 非解析：其二阶导数在 $E=E_c$ 处出现跳跃。我们将此奇点解释为二阶动力学相变。