从软极小化到信息约束最优传输与尖峰张量模型

设 $P_Z$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上给定分布。对任意 $y\in\mathbb{R}^n$，可将 $\rho(y):=\ln\mathbb{E}[e^{\left<y,Z\right>}]$ 解释为 $\left<y,Z\right>$ 的软极大（soft-max）。我们探索 $\mathbb{E}[\rho(Y)]$ 的下界，该下界用 $P_{Z\bar{Z}}$ 的最小互信息 $I(Z,\bar{Z})$ 表示，其中 $P_{Z\bar{Z}}$ 是 $P_Z$ 与其自身的耦合，使得 $Z-\bar{Z}$ 在某种意义下有界。这可视为 Sudakov 极小化（minoration）的软版本，后者用填充数（packing number）下界随机过程的期望上确界。我们的方法基于凸几何（凸体的节俭逼近），并对一般非高斯 $Y$ 适用。当 $Y$ 为高斯且 $\bar{Z}$ 收敛于 $Z$ 时，这恢复了 Bai-Wu-Ozgur 近期关于信息约束最优传输的不等式，该不等式此前使用高斯专用技术建立。我们还利用软极小化得到 Sherrington-Kirkpatrick 模型中自旋均匀分布于某类型类（type class）时自由能的渐近（关于张量阶数）紧界，意味着尖峰张量检测中 II 类错误指数的渐近紧界。