从简单到复杂：基于高斯混合模型的课程引导型物理信息神经网络
机器学习
2026-05-20 v1 数值分析
数值分析
摘要
物理信息神经网络(PINNs)提供了一个无网格的求解偏微分方程(PDE)的框架，但训练常因梯度病态、谱偏差和差异收敛而受阻，尤其是针对强非线性、锐利梯度或多尺度特征的问题。我们提出课程引导型高斯混合物理信息神经网络(CGMPINN)，将高斯混合建模与动态课程学习相结合。具体而言，周期性地拟合PDE残差分布以量化空间上变化的学习难度。平滑课程计划逐步转移训练焦点从易到难的区域，同时通过基于精度的方差调制抑制早期优化中不可靠的聚类。这种双课程由共享的课程参数控制，可与自适应损失平衡结合。我们进一步建立了理论保证，包括引起时变损失的梯度范数的亚线性收敛、课程加权损失与标准PDE损失之间的均匀等价，以及带有显式加权引起的偏差表征的泛化界限。在覆盖椭圆、抛物线、双曲线、抗扩散和非线性反应扩散类型六个基准PDE的实验中，CGMPINN在所有比较方法中持续实现最低的相对L2和最大绝对误差，将相对L2误差最高降低了97.8%，而成本相当。我们的代码已公开于https://github.com/Mathematics-Yang/CGMPINN。
引用
@article{arxiv.2605.19263,
title = {From Simple to Complex: Curriculum-Guided Physics-Informed Neural Networks via Gaussian Mixture Models},
author = {Jianan Yang and Yiran Wang and Shuai Li and Fujun Cao and Xuefei Yan and Junmin Liu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.19263},
year = {2026}
}
备注
23 pages, 15 figures