从持久性到韧性：用于分析单纯形复网络韧性的新 Betti 数

持久同调是拓扑数据分析中的基本工具，但缺乏量化循环脆弱性或细腻程度、预测其形成或消失或评估其稳定性（超越持久性）的方法。此外，经典 Betti 数未能捕捉如单纯形维数和更高阶邻接性等关键结构属性。在本工作中，我们通过分析循环厚度及其对故障或攻击的韧性来研究单纯形网络的韧性。为解决上述局限性，我们致力于持久同调，引入建模不同单纯形消除规则的过滤器，从而定义两种新型 Betti 数：厚 Betti 数和凝聚 Betti 数。这些改进的不变量捕获更丰富的结构信息，使我们能够衡量同调循环链接的厚度并评估其连接强度。这一方法增强并细化了经典拓扑描述符，我们的方法提供了更深入的对单纯形复结构动力学的洞见，并为评估更高阶网络的韧性建立了理论框架。最后，我们证明，通过双参数持久模块系统地检验单纯形攻击对拓扑特征的韧性是可能的，其中一个参数编码攻击的进展，另一个参数则捕获由厚度或凝聚性所驱动的结构细化。