从 Kontsevich 图到 Feynman 图：标量场星乘积的一个视角

本文从新方法构造协变情形下关于标量场的星乘积。我们在三个层次上构造星乘积，分别为 $\mathbb{R}^d$ 上函数、场和泛函的层次。我们强调函数层次的星乘积是我们设定的本质与出发点。首先，函数的星乘积几乎包含了关于标量场和泛函的星乘积的所有代数与组合信息。其次，更有趣的一点是函数的星乘积仅涉及有限维问题，即由具抽象系数的双向量场生成的 $\mathbb{R}^d$ 上的类 Moyal 星乘积。因此 Kontsevich 图自然发挥作用。实际上我们证明了一类 Kontsevich 图与 Feynman 图之间存在一一对应。此外，就函数层次的星乘积讨论了 Wick 定理、Wick 幂与 Wick 单项式的期望值。我们的构造可视为微扰代数量子场论中星乘积及文献 [1]、[2] 引入的 twist 乘积的推广。