群作用下不变函数空间上的 Frobenius 互反性

本文研究群作用及其对应向量空间之间的联系。给定群 G 在非空集合 X 上的作用,我们考察 X 上取标量值的函数空间 L(X) 及其固定子空间:$$L^G(X) = \{f\in L(X)\colon f(a\cdot x) = f(x) \textrm{ for all }a\in G, x\in X\}.$$ 特别地,我们证明 L^G(X) 是 G 在 X 上作用的不变量。在作用为有限的情形下,我们用 X 的不动点计算 L^G(X) 的维数,并证明关于 L^G(X) 的几个重要结果,包括 Bessel 不等式和 Frobenius 互反性。