环面上的自由仿射 $\mathbb{Z}^p$-作用

我们证明：任意由 $\mathbb{Z}^q$ 的自同构构成的 $\mathbb{Z}^p$-作用 ${\bf A}$，若其不动点集非零，则诱导出一个幂零（unipotent）因子，该因子决定了作用 ${\bf A}$ 是否为{\it 自由仿射}（liberated affine），即 ${\bf A}$ 是否为环面 $T^q$ 上自由仿射 $\mathbb{Z}^p$-作用的线性部分。一般而言，并非所有幂零 $\mathbb{Z}^p$-作用 ${\bf U}$（作用于 $\mathbb{Z}^q$）都是自由仿射的：当 $q\geq 4$ 时出现反例。但若将 ${\bf U}$ 的不动点集视为 $\mathbb{Z}^q$ 的子空间时其维数小于 $q/2$，则 ${\bf U}$ 是自由仿射的。若 $q\leq3$，则具有非零不动点集的 $\mathbb{Z}^p$-作用（作用于 $\mathbb{Z}^q$）是自由仿射的。最后，对于 $\mathbb{Z}^3$ 上的幂零 $\mathbb{Z}^p$-作用，我们给出了所有作为 $T^3$ 上极小自由仿射 $\mathbb{Z}^p$-作用的线性部分的作用的分类。