黎曼流形上的分数阶 Sobolev 空间

本文研究了黎曼流形上 $s\in(0,2)$ 时的规范 Hilbert 能量 $H^{s/2}(M)$，特别关注闭流形的情形。给出了该能量及流形上分数阶拉普拉斯算子的几个等价定义，并证明它们在相差显式乘性常数的意义下是相同的。此外，通过对黎曼流形上热核的深入研究，获得了分数阶拉普拉斯算子奇异积分定义所关联核的精确行为。进一步，给出了以下类型泛函驻点的单调性公式：$$\mathcal E(v)=[v]^2_{H^{s/2}(M)}+\int_M F(v) \, dV \,, \,\,\, F \ge 0 \,,$$ 特别地，该公式包含了非局部 $s$-极小曲面的情形。最后，我们证明了一些具有普遍意义的 Caffarelli-Silvestre 扩展问题的估计。本工作的动机来自于作者近期的一篇文章，该文证明了 Yau 猜想的非局部版本。