带锥奇点的流形上的分数阶多孔介质方程 II

这是研究分数阶多孔介质方程 $\partial_t u +(-\Delta)^\sigma (|u|^{m-1}u )=0$ (其中 $m>0$ 且 $\sigma\in (0,1]$) 在具有孤立锥奇点的黎曼流形上的一系列两篇论文中的第二篇。本文的第一个目标是推导 Mellin-Sobolev 空间的一些有用性质,包括 Rellich-Kondrachov 定理以及 Sobolev-Poincar\'e、Nash 和超 Poincar\'e 型不等式。文章的第二部分致力于研究锥拉普拉斯算子的马尔可夫扩张及其分数次幂。然后基于所得结果,我们建立了对于 $L_\infty-$初值及所有 $m>0$ 的全局强解的存在性与唯一性。我们进一步研究了解的若干性质,包括比较原理、$L_p-$压缩和质量守恒。我们的方法具有相当的普适性,因此适用于具有更一般奇点的流形上的一类相似问题。