关于非分离曲线的 Dehn 扭转的分数次幂

设 $S_g$ 为亏格 $g \geq 2$ 的闭可定向曲面，$C$ 为 $F$ 中的一条简单闭非分离曲线。记 $t_C$ 为关于 $C$ 的左旋 Dehn 扭转。指数为 $\fraction{\ell}{n}$ 的 $t_C$ 的\textit{分数次幂}是指满足 $h^n = t_C^{\ell}$ 的 $h \in \Mod(S_g)$。与 $t_C$ 的根不同，分数次幂 $h$ 可以交换 $C$ 的两侧。我们推导了存在交换侧和不交换侧分数次幂的充要条件。在不交换侧的情形下，我们证明若 $\gcd(\ell,n) = 1$，则 $h$ 同伦于 $t_C$ 的某个 $n$ 次根的 $\ell^{th}$ 次幂，且 $n \leq 2g+1$。一般而言，我们证明 $n \leq 4g$，且指数为 $\fraction{2g}{2g+2}$ 和 $\fraction{2g}{4g}$ 的不交换侧分数次幂总是存在。对于指数为 $\fraction{\ell}{2n}$ 的交换侧分数次幂，我们证明 $2n \geq 2g+2$，且指数为 $\fraction{2g+2}{4g+2}$ 和 $\fraction{4g+1}{4g+2}$ 的交换侧分数次幂总是存在。我们给出了 $S_5$ 上某些不交换侧和交换侧分数次幂的完整列表。