有界与无界域上高阶向量算子的分数次幂

利用四元数算子的 $H^\infty$ 函数演算，我们展示了如何生成某些稠密定义的差分四元数算子的分数次幂，这些算子的阶为 $m\geq 1$，作用于右线性四元数 Hilbert 空间 $L^2(\Omega,\mathbb C\otimes\mathbb H)$。我们所考虑的算子类型为 $$T=i^{m-1}\left(a_1(x) e_1\partial_{x_1}^{m}+a_2(x) e_2\partial_{x_2}^{m}+a_3(x) e_3\partial_{x_3}^{m}\right), \ \ \ x=(x_1,\, x_2,\, x_3)\in \overline{\Omega},$$ 其中 $\overline{\Omega}$ 是如下区域的闭包：要么是具有 $C^1$ 边界的有界域 $\Omega$，要么是在 $\mathbb R^3$ 中边界充分正则且满足所谓性质 $(R)$ 的无界域 $\Omega$；$\{e_1,\, e_2,\, e_3\}$ 是 $\mathbb H$ 的虚单位的一组标准正交基，$a_1,\,a_2,\, a_3: \overline{\Omega} \subset\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$ 是 $T$ 的系数。特别地，当 $T$ 的各分量（即算子 $T_l:=a_l\partial_{x_l}^m$）彼此不交换时，我们将给出 $T$ 的系数上用以生成 $T$ 的分数次幂（对 $\alpha\in(0,1)$ 记为 $P_{\alpha}(T)$）的充分条件。