复合函数的分数阶导数：精确结果及物理应用
经典分析与常微分方程
2019-01-10 v2 数学物理
math.MP
摘要
我们考察复合函数的分数阶导数，并给出 Caputo 分数阶导数的乘积法则与链式法则的推广。这些结果对于展现多重空间与时间尺度的物理与生物系统尤为重要，例如多孔材料与神经元簇，其中输运现象由以初等函数给出的慢变参数的分数阶导数所支配。Caputo 分数阶导数的乘积与链式法则均由该分数阶导数展开为无穷级数的整数阶导数而得。分数阶乘积法则实际实现的关键步骤在于对具有幂律自变量的广义超几何函数之累次积分的精确求值。通过应用广义 Euler 积分变换，我们能将累次积分表示为单个更高阶超几何函数。我们通过对描述非线性介质中暗孤子传播的双曲正切的 Caputo 分数阶导数的精确求值来展示所得结果。我们得出结论：在最一般情形下，分数阶链式与乘积法则均导致广义超几何函数的无穷级数。
引用
@article{arxiv.1803.05018,
title = {Fractional derivative of composite functions: exact results and physical applications},
author = {Gavriil Shchedrin and Nathanael C. Smith and Anastasia Gladkina and Lincoln D. Carr},
journal= {arXiv preprint arXiv:1803.05018},
year = {2019}
}