初等函数分数阶导数的精确结果

我们给出了一大类初等函数的 Caputo 分数阶导数的精确解析结果，包括三角与反三角函数、双曲与反双曲函数、高斯函数、四次高斯函数以及洛伦兹函数。这些结果对多尺度物理系统（如多孔材料、无序介质与湍流流体）尤为重要，其中输运由分数阶偏微分方程描述。Caputo 分数阶导数的精确结果源于带幂律自变量的广义超几何函数的单一广义 Euler 积分变换。我们给出了广义 Euler 积分变换的证明，并直接将其应用于广泛函数的 Caputo 分数阶导数的精确求值，只要这些函数可用带幂律自变量的广义超几何函数表示。我们确定初等函数的 Caputo 分数阶导数由广义超几何函数给出。此外，我们表明在最一般情形下最终结果不能化简为初等函数，这与 Liouville-Caputo 及 Fourier 分数阶导数均不同。然而，我们确立在初等函数自变量的无穷极限下，三种分数阶导数定义——Caputo、Liouville-Caputo 与 Fourier——均收敛于由初等函数给出的同一结果。最后，我们证明了 Liouville-Caputo 与 Fourier 分数阶导数之间的等价性。