Caputo导数的广义定义及其在分数阶常微分方程中的应用

本文中，我们利用卷积群将阶数在 $(0,1)$ 内的 Caputo 导数的定义推广到某类局部可积函数。我们的策略是利用卷积群为某类分布定义分数阶微积分。当作用于因果函数时，该分数阶微积分在 $t>0$ 时与传统黎曼-刘维尔定义一致，但在 $t=0$ 处包含一些奇点，从而保持群性质。然后，利用该分数阶微积分，我们引入 Caputo 导数的广义定义。新定义与文献中的各种定义一致，同时揭示了潜在的群结构。由于新定义对一类可在有限时间内发散的局部可积函数有效，它为在极弱条件下求解分数阶常微分方程和分数阶偏微分方程提供了框架。潜在的群性质使得 Caputo 导数的许多性质变得自然。特别地，它允许我们将分数阶微分方程去卷积为具有完全单调核的积分方程，从而使我们能够在最一般的条件下证明一般的 Grönwall 不等式（或比较原理）。这为分数阶偏微分方程的先验能量估计提供了基本工具。在此极弱条件下，还建立了分数阶常微分方程的一些其他基本结果。