双曲曲面上平衡态的傅里叶衰减

设 $\Gamma$ 为双曲空间 $\mathbb{H}^d$ 的（凸）余紧等距群，令 $M := \mathbb{H}^d/\Gamma$ 为相应的双曲流形，并考虑其单位切丛 $T^1 M$ 上的一个实值势 $F$。在 $F$ 的一个自然正则性条件下，我们证明相关的 $(\Gamma,F)$-Patterson-Sullivan 测度是 $\Gamma$ 上某个随机游动的具有指数矩的平稳测度。由此推得，当 $M$ 为曲面时， geodesic flow 在 $T^1 M$ 上的相关平衡态表现出“傅里叶衰减”，即涉及它的一大类振荡积分满足幂次衰减。由此可知，凸余紧双曲曲面上测地流的非游荡集具有正的傅里叶维数，其精确含义见附录。