分拆格及其直积的四元生成集

设 $n>3$ 为自然数。根据 H. Strietz 1975 年的结果，一个 $n$ 元集的所有分拆构成的格 Part$(n)$ 具有一个四元生成集。1983 年，L. Z\'adori 用一种特别优雅的构造给出了这一事实的新证明。基于其 1983 年的构造，本文给出了 Part$(n)$ 的四元生成集个数 $\nu(n)$ 的一个下界。我们还提出了一种计算机辅助的统计方法来处理小值 $n$ 下的 $\nu(n)$。在其 1983 年的论文中，L. Z\'adori 还证明了对于 $n\geq 7$，格 Part$(n)$ 有一个非反链的四元生成集。他留下了 $n\in\{5,6\}$ 时是否存在这样的生成集这一问题未决。此处我们对 $n=5$ 给出否定解答，对 $n=6$ 给出肯定解答。最后，主要定理断言某些分拆格的幂的直积是四生成的。特别地，由该定理的第一部分，对于任意两个不小于 5 的不同整数 $n_1$ 和 $n_2$，Part$(n_1)\times$ Part$(n_2)$ 是四生成的。定理的第二部分是技术性的，但它有两个易于理解的推论。即，对于每个整数 $n\geq 9$，直积 Part$(n)$ $\times$ Part$(n+1)$ $\times\dots\times$ Part$(3n-14)$ 是四生成的。此外，对于每个正整数 $u$，直积 Part$(n)$ $\times$ Part$(n+1)$ $\times\dots\times$ Part$(n+u-1)$ 的第 $u$ 次直幂对除有限多个 $n$ 外的所有 $n$ 是四生成的。如果我们不要求过多的直积因子，则指数可以相当大。例如，我们的定理蕴含 Part$(1011)$ $\times$ Part$(1012)$ $\times \dots \times$ Part$(2020)$ 的第 $10^{127}$ 次直幂是四生成的。