无四圈图、高度函数、枢轴性质与熵极小性

固定 $d\geq 2$。给定一个有限无向图 ${\mathcal{H}}$，其无自环且无多重边，考虑对应的“顶点”移位 $Hom(\mathbb{Z}^d, \mathcal{H})$，记为 $X_{\mathcal{H}}$。本文聚焦于“无四圈”的 $\mathcal{H}$。本文的两个主要结果是：$X_{\mathcal{H}}$ 具有枢轴性质，意味着对于所有仅在有限个位置不同的不同构型 $x,y\in X_{\mathcal{H}}$，存在一个构型序列 $x=x^1, x^2, \ldots, x^n=y\in X_{{\mathcal{H}}}$，使得连续构型 $(x^i, x^{i+1})$ 恰好在单个位置不同。此外，若 ${\mathcal{H}}$ 连通，则 $X_{\mathcal{H}}$ 是熵极小的，意味着任何严格包含于 $X_{\mathcal{H}}$ 中的移位空间都具有严格更小的熵。这些看似无关陈述的证明通过将 $X_{\mathcal{H}}$ 中的构型“提升”到其万有覆盖并在此背景下引入“高度函数”而联系起来。