热半群导数的公式

我们使用基本的鞅方法证明导数的微分公式 $$d(P_tf)(x_0)(v_0)={1\over t} E f(x_t) \int_0^t \langle Y(x_s)(v_s),dB_t\rangle_{R^m}.$$ 这些公式先在 $R^n$ 上证明，再推广到流形。随后用于微分形式上热方程的解，以及二阶公式。