平面多边形台球中超疤痕波的形成

多边形台球构成一类特殊的模型。尽管其 Lyapunov 指数为零，但由于在奇异顶点上的散射，其经典与量子性质仍很复杂。我们证明，在半经典极限下，当许多散射体的光学边界重叠时，在此类顶点上的多重奇异散射会导致量子波函数沿这些散射体所构成的直线消失。该现象对多边形台球尤为重要，其中周期轨道（若存在）形成由奇异顶点从两侧限制的平行射线束。由于边界顶点上的奇异散射，在半经典极限下沿周期轨道束内部传播的波在束边界处趋于零，从而形成弱相互作用的准模。与混沌系统中的疤痕不同，所讨论的多边形台球中的准模对于高激发态几乎精确，为简洁起见被称为超疤痕。文中给出了具有清晰超疤痕结构的三角形台球和势垒台球的许多本征函数图像。我们特别关注发展检测和定量分析此类超疤痕的定量方法。特别地，我们证明了与一固定周期轨道相关的超疤痕波和势垒台球本征函数之间的重叠，按照弱相互作用准模（或门态）典型的 Breit-Wigner 分布分布。对于称为 Veech 多边形的有理多边形特殊子类，其中所有周期轨道均可解析计算，我们论证并在数值上验证了它们的本征函数在傅里叶空间中是分形的。