Artin-Mazur形式群的形式光滑性

设 $X$ 是一个在特征为 $p$ 的代数闭域上的光滑紧致 variety。我们找到 $X$ 的 Artin-Mazur 形式群函子 $\Phi^{i}(X,\mathbb{G}_m)$ 为形式光滑的上同调条件。我们证明如果 $X$ 的所有晶体 cohomology 群都是无 torsion 的（例如如果 $X$ 是 an abelian variety），则所有 $\Phi^{i}(X,\mathbb{G}_m)$ 都是可表示且形式光滑的。随后我们识别形式光滑的必要条件，并用以给出例子，对于任意 $d\ge2$，存在 variety $X$ 使得当 $i<d$ 时 $\Phi^{i}(X,\mathbb{G}_m)$ 形式光滑，而 $\Phi^{d}(X,\mathbb{G}_m)$ 不是。这些构造受 Igusa 的 surface 上非光滑 Picard scheme 的启发。最后，我们给出等价于形式光滑性的条件，用以表达 Serre 的 Witt 向量 cohomology。该策略依赖于 $C$-光滑性——其中 $C$ 是 $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$ 的群代数——这是一个检测形式群是否形式光滑的条件，并利用 Nygaard 滤波将 fppf cohomology 关联到晶体 cohomology。