对于 $U \subset SL_n$ 与基仿射空间 $SL_n /U$ 的 Fock-Goncharov 猜想与多面体锥

我证明了\cite{GHKK}中关于$SL_n$簇结构的若干猜想，这些猜想特别蕴含了对于开双Bruhat胞腔$\mathcal{A} \subset SL_n/U$（其中$U \subset SL_n$为极大幂幺子群）的完整Fock-Goncharov猜想。这赋予了镜像簇变种$\mathcal{X}$一个典范势函数$W$，并确定了镜像热带空间的一个典范锥$W^T \geq 0 \subset \mathcal{X}\left(\mathbb{R}^T\right)$，其整数点参数化$H^0\left(SL_n/U,\mathcal{O}_{SL_n/U}\right)$的一组基，该基由开子集$\mathcal{A} \subset SL_n/U$典范确定。每种种子选择将$\mathcal{X}\left(\mathbb{R}^T\right)$等同于一个实向量空间，并将$W^T \geq 0$等同于一个具有整数系数的线性方程组，切出一个多面体锥。我们以这种方式（通常）获得了典范基作为多面体锥整数点的无穷多种参数化。对于双Bruhat胞腔的通常初始种子，我们重新得到了Berenstein-Kazhdan\cite{BKaz,BKaz2}与Berenstein-Zelevinsky\cite{BZ96}通过Gelfand-Tsetlin锥整数点给出的参数化。