Hastings-Levitov 平面生长的涨落结果

我们研究小粒子极限下 Hastings-Levitov 簇外域的涨落。这些涨落被证明由一个连续高斯过程 $\mathcal{F}$ 给出，该过程取值于 $\{ |z|>1 \}$ 上全纯函数空间，我们给出了其显式构造。$\mathcal{F}$ 的边界值 $\mathcal{W}$ 被证明在单位圆 $\mathbb{T}$ 上分布空间上执行 Ornstein-Uhlenbeck 过程，其可描述为随机分数阶热方程的解 $$\frac{\partial}{\partial t} \mathcal{W} (t,\vartheta ) = - (-\Delta )^{1/2} \mathcal{W} (t,\vartheta ) + \sqrt{2}\, \xi (t, \vartheta )$$ 其中 $\Delta$ 表示作用于空间分量的拉普拉斯算子，且 $\xi (t,\vartheta )$ 是时空白噪声。因此我们发现，当簇被任由无限生长时，边界过程 $\mathcal{W}$ 收敛于对数相关的分数高斯场，其可实现为 $(-\Delta )^{-1/4}W$，其中 $W$ 为 $\mathbb{T}$ 上的复白噪声。