度量空间中 Meir-Keeler 型压缩的不动点定理

我们建立了一个简单而有力的引理，为度量空间中的序列成为柯西列提供了判据。利用该引理，可以容易地验证 Picard 迭代 $\{T^nx\}$（其中 $T$ 是 Meir-Keeler 型的压缩或渐近压缩）是柯西序列。作为一个应用，我们给出了完备度量空间中满足 Meir-Keeler 型压缩条件的连续且渐近正则自映射的不动点存在性若干已知结果的新而简单的证明。这些结果包括 Proinov 的著名不动点定理（见 [Petko D. Proinov, Fixed point theorems in metric spaces, Nonlinear Anal. \textbf{46} (2006) 546--557]）、Suzuki 关于渐近压缩的不动点定理（见 [Tomonari Suzuki, A definitive result on asymptotic contractions, J. Math. Anal. Appl. \textbf{335} (2007) 707--715]）等。我们还证明了一些新的不动点定理。