具有冻结顶点的 $\mathcal{U}$-Ising 和 $\mathcal{U}$-voter 动力学的固定性

零温随机 Ising 模型是统计力学中著名的随机 Ising 模型的一个特例，而 voter 模型是该领域的另一个经典模型。在这两个模型中，图 $\mathbb{Z}^d$ 的每个顶点可以处于两种状态之一，并且可以改变状态以匹配其邻居的状态。2017 年，Morris 提出了这些模型的推广形式，即 $\mathcal{U}$-Ising 和 $\mathcal{U}$-voter 动力学，其中顶点可以改变状态以匹配其附近某些顶点子集的状态。这些推广受到相关自举渗流 (bootstrap percolation) 模型中类似推广的启发，在该模型中，Balister、Bollob\'as、Duminil-Copin、Morris、Przykucki、Smith 和 Uzzell 成功建立了广义模型的令人印象深刻的普适性分类。然而，关于 $\mathcal{U}$-Ising 和 $\mathcal{U}$-voter 动力学的结果寥寥无几。唯一的结果来自 Blanquicett (2021)，他在固定性这一重要问题上取得了一些令人鼓舞的进展，而该问题对于零温随机 Ising 模型仅得到部分解决：所有顶点最终是否会稳定在给定状态，还是会在两种状态之间永远振荡？在本工作中，我们解决了 Damron、Eckner、Kogan、Newman 和 Sidoravicius 在 2015 年为零温随机 Ising 模型解决的问题：当 $\mathbb{Z}^d$ 的一部分顶点被冻结在某一状态时的固定性。对于 $d=1$ 和 $2$，在大多数情况下，我们证明了如果所有冻结顶点处于同一状态，则所有顶点最终都会稳定在该状态。此外，如果顶点可以被冻结在两种状态中，但被冻结在第二种状态的顶点比例足够小，我们能够建立一种普适性分类，识别出所有顶点都会稳定在给定状态的模型。