二维 $\mathcal U$-ISING 与 $\mathcal U$-VOTER 动力学的 fixation

给定 $\mathbb Z^d\setminus \{0\}$ 的有限子集的一个有限族 $\mathcal U$，$\mathcal U$-$voter\ dynamics$（投票者动力学）在构型空间 $\{+,-\}^{\mathbb Z^d}$ 中定义如下：每个 $v\in\mathbb Z^d$ 有一个独立的指数随机时钟，当 $v$ 处的时钟响时，顶点 $v$ 均匀随机选取 $X\in\mathcal U$。若集合 $v+X$ 全为 $+$（相应地为 $-$）态，则 $v$ 的状态更新为 $+$（相应地为 $-$），否则不发生任何变化。该模型的 $临界概率$ $p_c^{\text{vot}}(\mathbb Z^d,\mathcal U)$ 是使得当顶点初态以概率 $p$ 独立取 $+$ 而以概率 $1-p$ 取 $-$ 时，系统几乎必然 fixation（固定）于 $+$ 的 $p$ 的下确界。我们证明了对广泛一类族 $\mathcal U$ 有 $p_c^{\text{vot}}(\mathbb Z^d,\mathcal U)<1$。此外我们考虑了 $\mathcal U$-Ising 动力学并表明该模型也呈现相同的相变。