带催化剂的超布朗运动的有限时间灭绝

考虑具有有限方差分支的催化超布朗运动 $X=X^\Gamma$。这里“催化”意味着反应物 $X$ 的分支仅在存在某种催化剂时才可能发生。我们内在的催化剂例子是 $R$ 上指数为 $0<\gamma<1$ 的稳定随机测度 $\Gamma$。因此,此处催化剂位于 $R$ 的一个可数稠密子集内。从支撑于紧集上的有限反应物质量 $X_0$ 出发,可证 $X$ 在有限时间内消亡。我们的概率论证使用了在时间区间 $[T_n,T_{n+1})$ 内反应物“粒子”的好历史路径与坏历史路径的思想。好路径与催化剂有显著的碰撞局部时间,并且可通过依据碰撞局部时间作个体时间变换以及与 Feller 分支扩散比较来证明灭绝。另一方面,剩余坏路径在时刻 $T_{n+1}$ 的期望质量很小,该质量可由点催化剂的命中概率及在其上花费的碰撞局部时间来控制。