分支布朗运动在灭绝事件中被吸收的粒子数

我们考虑一个从 $0$ 出发、漂移为 $\mu \in \mathbb{R}$ 的分支布朗运动，并关注在 $-x$（$x>0$）处被杀死的粒子数 $Z_x$。称 $\mu_0$ 为临界漂移，使得当且仅当 $\mu>-\mu_0$ 时存在正的生存概率。Maillard \cite{maillard2013number} 和 Berestycki 等人 \cite{berestycki2015branching} 分别研究了 $\mu \leq -\mu_0$ 和 $\mu\geq \mu_0$ 情形下的 $Z_x$。我们通过考虑灭绝事件上 $\mu>-\mu_0$ 的情形来补全图像。更精确地，我们研究 $q_i(x):=\mathbb{P}\left(Z_x=i,\zeta_x<\infty\right)$ 的渐近性。我们证明相应幂级数的收敛半径 $R(\mu)$ 随 $\mu$ 增大而增大，直到 $\mu=\mu_c\in [-\mu_0,+\infty]$ 之后保持常数。我们还给出了 $\mu_c<+\infty$ 的充要条件。此外，还得到了更精细的渐近结果，其根据 $\mu<\mu_c$、$\mu=\mu_c$ 或 $\mu>\mu_c$ 突出了三种不同的区域。