尖峰 Wigner 模型中的有限尺寸修正与似然比涨落

本文研究高维高噪声情形下的主成分分析。问题的模型是一个秩一扰动的 Wigner 矩阵，其中信噪比(SNR)为常数阶，我们关注检测尖峰的基本极限。主要目标是精细理解对数似然比过程（也称为自由能）作为 SNR 函数的渐近行为。主要结果有两方面。首先，我们证明自由能对其极限——副本对称公式——存在有限尺寸修正，并显式计算了该修正。这给出了植入模型与零模型之间 Kullback-Leibler 散度的公式。其次，我们证明在重构阈值以下（此时重构尖峰已不可能），对数似然比具有常数阶涨落，并在植入模型和（一定限制下的）零模型下均依分布收敛于高斯分布。由此，我们给出了这两个分布在重构阈值以下保持 contiguity 的一般性证明，且该证明对尖峰上任意可分离先验均有效。还给出了全变差距离以及最优检验的 I 类与 II 类错误的公式。我们的证明基于 Guerra 和 Talagrand 在研究 Sherrington–Kirkpatrick 自旋玻璃模型时设计的高斯插值方法及腔方法的严格实现。