高维情境下 Hotelling's $T^2$ 的谱鲁棒协方差缩减

我们研究在数据维数 $p$ 与样本量 $n$ 以固定比例增长的情形下，对 Hotelling's $T^2$ 的协方差缩减问题——这一研究不假设总体协方差矩阵具有 spikes 或良好条件。当 $p/n\to\phi \in (0,1)$ 时，我们提出一种实用的有限样本缩减器，对任意最大熵信号先验和任意固定显著性水平，(a) 在高斯数据下渐近最大化功效，(b) 在更一般的子高斯情形下渐近达到 Hanson--Wright 下界对功效的限制。我们的做法是构建并求解一个刻画最优渐近缩减器的变分问题，证明我们的有限样本方法通过扩展最近的局部随机矩阵律，一致地逼近该极限。通过在模拟数据和真实数据（包括 Crawdad UMich/RSS 数据集）上的实验研究，展示在显著性水平为 $10^{-4}$ 时，与领先的线性和非线性竞争方法相比，功效提升最高可达 $50\%$。