一种用于高维均值检验的邻域辅助 Hotelling $T^2$ 检验

已有许多检验被提出以补救“大 $p$、小 $n$”范式下的经典 Hotelling $T^2$ 检验，但基于平方和类型的最优检验是否存在尚未被探索。本文表明，在特定条件下，已知 $\Sigma^{-1}$ 的总体 Hotelling $T^2$ 检验在所有通过 $\Sigma^{\eta}$（$\eta \in (-\infty, \infty)$）进行数据变换的基于 $L_2$ 范数的检验中达到最佳功效。为将结果推广到 $\Sigma^{-1}$ 未知的情形，我们提出一种邻域辅助 Hotelling $T^2$ 统计量，将经典 Hotelling $T^2$ 统计量中的样本协方差矩阵逆替换为正则化协方差估计量。利用回归模型，我们在温和条件下建立了其渐近正态性。我们表明所提检验在特定条件下能够匹配总体 Hotelling $T^2$ 检验的表现，从而具备某种最优性。此外，它通过经验性地选择邻域大小以最大化信噪比，可自适应地达到最佳功效。文中给出了模拟实验与案例研究以展示所提检验的经验表现。