交换幺半群中的有限乘积：良定义性、有限子集上的递归以及空乘积为何为 $1$
环与代数
2026-05-12 v1
摘要
约定“空乘积 ”在数学中无处不在，但通常没有明确的结构性证明。本笔记在交换幺半群的背景下为此事实提供了一个自包含的参考。我们构造了由有限集索引的族的乘积，证明了其枚举独立性，并表明它由 Fin 中的一个递归方案唯一刻画：空集上的值和插入新索引的规则。特别地，空乘积的值必然是单位元 。我们进一步记录了对此事实的两个互补且独立的证明：一个通过无列表幺半群，另一个通过半环中的分配恒等式。接下来，我们通过有限支撑的交换无多重集幺半群，以泛性质的形式阐述了同一现象。我们还通过迹幺半群和堆讨论了部分交换扩展，并简要介绍了在线性代数、生存统计、范畴论和分析中的应用。相应的加法版本通过同一原理恢复了恒等式“空和 ”。
引用
@article{arxiv.2605.08089,
title = {Finite products in commutative monoids: well-definition, recursion on finite subsets, and why the empty product is $1$},
author = {João Victor Monteiros de Andrade and Leonardo Santos da Cruz},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.08089},
year = {2026}
}