用于非光滑系统直接最优控制的带切换检测的有限元方法
最优化与控制
2024-02-13 v2
摘要
本文提出带切换检测的有限元方法（FESD），一种针对非光滑微分方程的数值离散方法。我们考虑这些系统的 Filippov 凸化以及由 [Stewart, 1990] 引入的向动态互补系统的变换。FESD 基于求解非线性互补问题，可自动检测时间上的非光滑事件。若朴素地将标准时间步进 Runge-Kutta（RK）方法应用于非光滑 ODE，其精度至多为一阶。在 FESD 中，我们令积分步长为自由变量。我们称之为交叉互补的附加互补条件可实现精确的切换检测，因此 FESD 能恢复 RK 方法在光滑 ODE 上所具备的高阶精度。称为步长均衡的附加条件允许步长仅在发生切换时改变，从而避免伪自由变量。本文推导了 FESD 方法的收敛结果，证明了解的局部唯一性与数值灵敏度的收敛性。FESD 的有效性在多个仿真与最优控制示例中得以展示。在一个使用 FESD 的最优控制问题基准中，相同计算时间内我们比标准时间步进方法获得了精确达五个数量级的求解结果。
引用
@article{arxiv.2205.05337,
title = {Finite Elements with Switch Detection for Direct Optimal Control of Nonsmooth Systems},
author = {Armin Nurkanović and Mario Sperl and Sebastian Albrecht and Moritz Diehl},
journal= {arXiv preprint arXiv:2205.05337},
year = {2024}
}
备注
Under review in Numerische Mathematik