求解状态梯度与控制均受约束的椭圆最优控制问题的 FE-dABCD 算法

本文考虑具有状态梯度积分约束及控制盒式约束的椭圆控制问题。证明了该问题的最优性条件。为数值求解该问题，我们采用“先离散后优化”方法。具体而言，我们用分片线性函数离散状态与控制。为高效求解离散问题，我们首先通过其对偶将其转化为多块无约束凸优化问题，随后扩展不精确极大化加速块坐标下降（imABCD）算法来求解。整个算法框架称为基于有限元对偶的不精确极大化加速块坐标下降（FE-dABCD）算法。得益于 FE-dABCD 算法的非精确性，各子问题允许被非精确求解。对光滑子问题，我们使用带预条件子的广义极小残差（GMRES）法求解；对非光滑子问题，其中之一通过引入适当的邻近项具有闭式解，另一个结合半光滑牛顿（SSN）法求解。基于这些高效策略，我们证明所提 FE-dABCD 算法具有 $O(\frac{1}{k^2})$ 的迭代复杂度。做了一些数值实验，数值结果表明了 FE-dABCD 算法的有效性。