控制受约束椭圆最优控制问题的两阶段策略

本文考虑对控制施加逐点盒约束的椭圆最优控制问题（EOCP）。为了求解 EOCP，原对偶活跃集（PDAS）方法作为一种特殊的半光滑牛顿（SSN）方法，因其局部超线性收敛性而曾是优先考虑的选择。然而，通常求解牛顿方程代价高昂，尤其是在细网格离散化时。受交替方向乘子法（ADMM）在求解有限维大规模凸极小化问题中成功应用的启发，将 ADMM 扩展用于求解 EOCP 是合理的。为了数值求解 EOCP，使用有限元（FE）方法进行离散化。随后，提出了一种两阶段策略来求解离散化问题。在第一阶段，提出了一种非精确异构 ADMM（ihADMM），旨在将离散化问题求解至中等精度，或利用其生成一个相当好的初始点以热启动第二阶段。与经典 ADMM 不同，我们的 ihADMM 在两个子问题中分别采用两种不同的加权内积来定义增广拉格朗日函数。得益于这种不同的加权技术，ihADMM 的两个子问题可以高效实现。此外，给出了 ihADMM 的全局收敛性以及迭代复杂度结果 $o(1/k)$ 的理论证明。在第二阶段，为了获得更精确的解，使用原对偶活跃集（PDAS）方法作为 ihADMM 的后处理器。数值结果表明 ihADMM 和两阶段策略非常高效。