ADMM在具有控制约束及更广泛情况的抛物型最优控制问题中的实现
最优化与控制
2020-05-05 v1
摘要
具有控制约束的抛物型最优控制问题，无论从理论分析还是算法设计的角度来看，通常都具有挑战性。从概念上讲，著名的交替方向乘子法（ADMM）可以直接应用于此类问题。这种直接应用ADMM的一个显著优势是，控制约束可以从抛物型偏微分方程（PDE）约束中解耦；因此，这两个本质上不同的约束可以在迭代中分别处理。在ADMM的每次迭代中，主要计算是求解一个无约束抛物型最优控制问题。由于离散化后的高维性，每次迭代中的无约束抛物型最优控制问题只能通过在内部实施某种数值格式来非精确求解，因此需要一个两层嵌套迭代格式。于是，找到一个易于实现且高效的非精确性准则来执行内部迭代，并严格证明由此产生的两层嵌套迭代格式的整体收敛性，就变得非常重要。为了高效实现ADMM，我们提出了一种与所涉及离散化的网格尺寸无关的非精确性准则，该准则可以自动执行，无需事先凭经验设定恒定精度。事实证明，该非精确性准则允许我们将所得的无约束最优控制问题求解至中等甚至低精度，从而显著节省计算量，同时仍能严格保证整个两层嵌套迭代格式的收敛性。初步数值结果令人信服地验证了这种ADMM实现的效率。我们的方法还可以扩展到由其他线性PDE（如椭圆方程和双曲方程）约束的一系列最优控制问题。
引用
@article{arxiv.2005.01582,
title = {Implementation of the ADMM to Parabolic Optimal Control Problems with Control Constraints and Beyond},
author = {Yongcun Song and Xiaoming Yuan and Hangrui Yue},
journal= {arXiv preprint arXiv:2005.01582},
year = {2020}
}