一种用于具有 {$L^1$}-控制代价的椭圆最优控制问题的有限元非精确异构 ADMM 方法

本文考虑具有 $L^1$-控制代价的椭圆型偏微分方程约束最优控制问题（$L^1$-EOCP）。为求解 $L^1$-EOCP，原始-对偶有效集（PDAS）方法，一种特殊的半光滑牛顿（SSN）方法，曾是优先选择。然而，求解牛顿方程通常代价高昂。受交替方向乘子法（ADMM）成功的启发，我们考虑将 ADMM 扩展到 $L^1$-EOCP。为了离散 $L^1$-EOCP，我们采用分片线性有限元（FE）。然而，与有限维 $l^1$-范数不同，离散后的 $L^1$-范数不具有解耦形式。为克服这一困难，一种有效的方法是使用节点求积公式来近似离散 $L^1$-范数和 $L^2$-范数。我们证明了这些近似步骤不会改变误差估计的阶数。为求解离散后的问题，我们提出了一种非精确异构 ADMM（ihADMM）。与经典 ADMM 不同，ihADMM 在两个子问题中分别采用两种不同的加权内积来定义增广拉格朗日函数。得益于这种不同的加权技术，ihADMM 的两个子问题都可以高效实现。此外，我们还给出了 ihADMM 全局收敛性的理论结果以及 $o(1/k)$ 的迭代复杂度结果。为了获得更精确的解，我们还提出了一种两阶段策略，其中将原始-对偶有效集（PDAS）方法用作 ihADMM 的后处理器。数值结果不仅证实了误差估计，还表明 ihADMM 和两阶段策略是高效的。