有限控制与 Novikov 环：双变量 Laurent 多项式环

设 $C$ 为 Laurent 多项式环 $L = R[x,1/x,y,1/y]$ 上有限生成自由模的有界上链复形。若 $C$ 在 $R$ 上同伦等价于有限生成投射 $R$-模的有界复形，则称 $C$ 为 $R$-有限控制 (R-finitely dominated)。我们的主要结果利用 Novikov 上同调刻画了 $R$-有限控制复形：$C$ 是 $R$-有限控制的，当且仅当由 $C$ 导出的八个复形是零调的；这些复形是通过将 $C$ 在 $L$ 上分别与 $R[[x,y]][1/xy]$ 和 $R[x,1/x][[y]][1/y]$ 进行张量积，以及通过交换 $x$ 和 $y$ 并将任一未定元替换为其逆而得到的变体。